Area de una superficie de revolicion




Una superficie de revolucion se forma cuando se hace girar una curva en torno de una recta. Podemos imaginar que se desprende una capa externa muy delgada del cuerpo de revolucion y que la cascara se aplana para poder medir su area.


Suponemos que la función $f$ que genera la gráfica es derivable con continuidad. En los dos casos siguientes vamos a considerar bandas. Estas bandas no son cilíndricas pero vamos a considerar que si lo son. En cada caso el radio del cilindro va a ser $f(x)$ o $x$, según que giremos al rededor del eje $OX$, o alrededor del eje $OY$. Por otro lado vamos a tomar como altura la aproximación dada por la longitud del arco $\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$
$a$) Girada alrededor del eje $OX$
${\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\sum_{\Delta x}2\pi f(x)\sqrt{1+\left ( \frac{\Delta y}{\Delta x }\right ) ^2} \Delta x }$         
${\displaystyle A=\int_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+\left ( f'(x)\right ) ^2} dx }$
$b$) Girada alrededor del eje $OY$
${\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\sum_{\Delta x}2\pi x\sqrt{1+\left ( \frac{\Delta y}{\Delta x }\right ) ^2} \Delta x }$         
${\displaystyle A=\int_a^b 2\pi x\sqrt{1+\left ( f'(x)\right ) ^2} dx }$

https://www.youtube.com/watch?v=cuuNmTz-FBM

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